ELFT HÍRADÓ

["Szabados,L." <lbszab AT rmki.kfki.hu>]

T. Lista!

A 2020 évi fizikai Nobel dij kapcsán a hazai ismeretterjesztő irodalomban 
több cikk is megjelent (ill. vélekedés kapott nyilvánosságot az 
elektronikus sajtóban). A megmosolyogtatóan naiv vagy bosszantóan 
dilettáns irások közül csillagászati szakmai igényességével toronymagasan 
emelkedik ki Kovács Józsefnek a Magyar Tudomány februári számában 
megjelent irása [1]. Ebben nagyon jól olvasható összefoglalását kapjuk a 
két dijazott csillagász kutató, Andrea Ghez és Reinhard Genzel 
eredményének (és az általuk használt technikának): hogy miért is lehetünk 
biztosak abban, hogy a Tejútrendszer centumában egy kb. 4 millió 
Nap-tömegű fekete lyuk van.

A cikk Roger Penrose immár klasszikus, az általános relativitáselmélet 
első modern szingularitástételét publikáló [2] cikkének az ismertetése és 
jelentőségének a bemutatása azonban egy kissé problematikusnak látszik, 
mégpedig két okból.

1. A Schwarzschild fekete lyuk kapcsán azt olvassuk, hogy `A 
Schwarzschild-téridőben az eseményhorizontot sugárirányban befelé átlépve 
a tér és az idő szerepet cserél, és a gömbi koordinátákban a középpont 
felé mutató "befelé" az idő lesz.' A probléma az, hogy ez az állitás nem 
igaz. De nem is érdemelne ez a korrigálandó mondat különösebb figyelmet, 
ha ez nem jelent volna meg ugyanigy a Fizikai Társulat ismeretterjesztő 
lapjának a novemberi számában, ugyancsak a 2020-as fizikai Nobel dij 
kapcsán. (Itt további, a fekete lyukak tulajdonságaira vonatkozó 
meglehetősen zavarba ejtő megállapitás mellett még ráadásul szép szines 
ábrán illusztrálva is van, hogy a lyukon kivül `tér', azon belül meg `idő' 
van. Tehát úgy tűnik, hogy nem csupán szerencsétlen megfogalmazásról, 
hanem egy, a koordináták szerepének a félreértéséről van szó.)

2. Nem derül ki, hogy mi a tényleges jelentősége Penrose cikkének a fekete 
lyukak elméletében: Nem az, hogy az adott feltételek mellett 
szingularitások alakulnak ki (hiszen hogy mi van a horizonton belül, az a 
külső megfigyelő számára és a horizonton kivüli világ folyamatai 
szempontjából -- a lyuk gravitációs `erőterének' a dipólnál magasabb 
rendű és gyorsan lecsengő multipól momentumain túl -- irreleváns); de nem 
is az, amit más helyen olvashatunk, miszerint `bebizonyitotta, hogy az 
általános relativitáselmélet szerint a gravitációs összeomlás 
eredményeként fekete lyukak jönnek létre'. Nem, a dijazott cikkben nem azt 
bizonyitotta be.

A jelen irásunk célja, hogy korrigáljuk (ill. pontositsuk) az 1. pontban 
emlitett hibás állitást, rámutatva arra, hogy mi lehet a félreértés oka; 
és hogy egy korrekt összefoglalását adjuk Penrose hires cikkének és 
világosan lássuk annak tényleges jelentőségét a fekete lyukak fizikájában.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1. Tehát igaz-e, hogy `A Schwarzschild-téridőben az eseményhorizontot 
sugárirányban befelé átlépve a tér és az idő szerepet cserél, és a gömbi 
koordinátákban a középpont felé mutató "befelé" az idő lesz'?

Nem, egyáltalán nem. Ezért a fenti állitást korrigálandó/pontositandó, 
először foglaljuk össze, hogy honnan is jönnek a $(t,r,\theta,\phi)$ ún. 
Schwarzschild koordináták.

A Schwarzschild téridőnek négy metrikus szimmetriája van: a gömbszimmetria 
(3 generátorral) és egy olyan szimmetria, ami az aszimptotikusan sik 
tartomány sztatikusságát eredményezi. E generátorok, amik vektormezők a 
téridősokaságon, természetesen Lie algebrát alkotnak, és ebben ez utóbbi 
szimmetria generátora, jelöljük ezt $K$-val, kommutál a gömbszimmetria 
három generátorával. (Régebben a diákjaimnak mindig feladtam házi 
feladatként, hogy bizonyitsák be, hogy bármely olyan négy dimenziós 
valós Lie algebra aminek az $so(3)$ rész Lie algebrája, szükségképpen 
direktösszeg: $so(3) \oplus I$. Igy az $I$ elemei mindig kommutálnak az 
$so(3)$ elemeivel, függetlenül attól, hogy e generátorok most épp 
vektormezők.) A gömbszimmetriát generáló vektormezők mindenütt térszerűek, 
de a $K$ vektormező kauzális jellege a téridősokaság különböző 
tartományain más és más: $K$ az eseményhorizonton kivül *időszerű*, de a 
horizonton *fényszerűvé*, a horizont mögött pedig *térszerűvé* válik. A 
$(t,r,\theta,\phi)$ koordináták a fenti szimmetriagenerátorokhoz vannak 
illesztve; s hogy ezek a koordináták igy bevezethetők, a gömbszimmetria 
generátorainak és a $K$-nak a kommutálása teszi lehetővé. Speciálisan, a 
$t$ koordináta a $K$ integrálgörbéi menti természetes paraméter, 
*függetlenül* a $K$ kauzális jellegétől. A horizont mögött tehát $t$ már 
*térszerű* görbék természetes paramétere, merthogy ott a $K$ már térszerű. 
Abból, hogy a horizonton kivül $t$ `időkoordináta' (meghogy $t$-vel 
jelöltük), még nem következik, hogy az a horizonton belül is az `idővel' 
kell, hogy kapcsolatos legyen. Igy aztán a horizont átlépése során a $t$ 
`térszerű' (és az $r$ `időszerű') *koordinátává* válásából a `tér'-re és 
az `idő'-re semmi (és igy speciálisan azok `felcserélődése') sem 
következik. Csak a *koordináták* kauzális jellege változik.

Az `idő' és a `tér' ui. *nem* cserélődik fel a horizonton való áthaladás 
során, mivel azt, hogy mi az idő- ill. térirány, minden pontban a *lokális 
fénykúpok* mondják meg: egy irány időszerű és jövő/múlt irányitott, ha az 
a lokális jövő/múlt fénykúp belsejébe mutat, és térszerű, ha azon kivülre. 
Mivel a fénykúpok a téridősokaságon folytonosan (sőt, a Schwarzschild 
geometriában analitikusan!) változnak, az idő- ill. térirányok fogalmában 
semmiféle nem folytonos, ugrásszerű változás sem állhat elő. Ez jól 
látszódik, ha a metrikát pl. az avanzsált Eddington--Finkelstein 
koordinátákban irjuk fel (ami a Minkowski téridő $(v,r,\theta,\phi)$ 
avanzsált gömbi koordinátáival analóg), és amiben a horizont egy 
*reguláris, analitikus* fényszerű hiperfelület lesz és a lokális fénykúpok 
is e koordináták *analitikus* függvényeivel adhatók meg. A Penrose hires 
[2] cikkében található ábra is ebben a koordinátarendszerben mutatja be a 
gravitációs összeomlás folyamatát és a horizont és a szingularitás 
kialakulását.

Ugyanakkor a $(v,r,\theta,\phi) --> (t,r,\theta,\phi)$ 
koordinátatranszformáció Jacobi mátrixának a determinánsa a horizonton (és 
csak ott) zérus. A $(t,r,\theta,\phi)$ koordináták tehát *nem* globálisan 
jól definált koordináták, azok csak a $0 < r < 2m$ és a $2m < r < \infty$ 
*diszjunkt, nyilt* tartományokon jól értelmezettek. Az egyik nyilt 
tartomány Schwarzschild koordinátái *nem* folytatásai a másik nyilt 
tartomány Schwarzschild koordinátáinak. A $(t,r,\theta,\phi)$ 
koordinátarendszerek a horizonton *szingulárissá* válnak. Igy a 
koordináták egyik tartománybeli interpretációja sem vihető át 
automatikusan a másik tartományra. Hogy a horizonton a teljesen reguláris 
fénykúpok mennyire degeneráltnak *tűnnek* a Schwarzschild koordinátákban, 
jól mutatja a 23. ábra Hawking és Ellis klasszikus [3] monográfiájának a 
152. oldalán. Talán egy ilyen ábra sugallhatta azt a téves képzetet, hogy 
a horizontot átlépve `az idő és a tér felcserélődik'.

A Schwarzschild koordináták fenti viselkedése teljesen hasonló a Minkowski 
téridőben a kvantumtérelméleti Unruh effektus kapcsán megismert 
$(T,X,Y,Z)$ ún. Rindler koordináták viselkedéséhez. Mig a Minkowski téridő 
szokásos $(t,x,y,z)$ Descartes koordinátáit a téridő valamely időszerű 
transzlációs szimmetriát generáló vektormezőjéhez illesztjük, a Rindler 
koordinátákat pl. az $x$-irányú Lorentz-boostokat generáló vektormezőhöz,

$K = x (\partial/\partial t) + t (\partial/\partial x)$

-hez adaptáljuk. A $T$ ezen vektormező integrálgörbéi menti természetes 
paraméter. Csakhogy, a Schwarzschild megoldásbeli $K$ vektormezőhöz 
teljesen hasonlóan, ez a vektormező sem mindenhol időszerű: $K$ időszerű 
az $x>\vert t\vert$ és $-x>\vert t\vert$ diszjunkt, nyilt tartományokon, 
fényszerűvé válik a $t=\pm x$ fényszerű hipersikokon, és térszerű a 
$t>\vert x\vert$ és $-t>\vert x\vert$ nyilt tartományokon. (A könnyebb 
érthetőség kedvéért javasoljuk a kedves olvasónak e tartományok 
lerajzolását egy papirlapra.) Ez utóbbi két tartományon tehát a $T$ 
koordináta *térszerű* integrálgörbék természetes paramétere, miközben az 
az előbbi kettőn még *időszerű* integrálgörbék paramétere. De ez alapján 
senki sem gondolná, mint ahogy ebből nem is következik, hogy a Minkowski 
téridő bizonyos tartományaiban `az idő és a tér szerepet cserél' (csak 
azért, mert a Descartes helyett a Rindler koordinátákat kezdtük el 
használni); pedig a helyzet pontosan ugyanaz, mint amit a Schwarzschild 
téridő kapcsán láttunk. Hasonlóan, a $T$ (idő)koordináta a $x>\vert 
t\vert$ tartományon a $t$ időkoorninátának monoton *növekvő*, de a 
$-x>\vert t\vert$ tartományon már monoton *csökkenő* függvénye. De ebből 
nem következik, hogy a Minkowski téridő bizonyos tartományaiban `az idő 
visszafelé telik'.

Hogy tehát mi a tér- és időirány, és hogy az utóbbiak közül melyik a jövő 
és melyik a múlt, a fekete lyukak belsejében is a lokális fénykúpok 
mondják meg, és nem a koordináták. Ugyanakkor, a Schwarzschild megoldásban 
a $0 < r < 2m$ tartomány valóban különös tulajdonságokkal rendelkezik. 
Például, hogy egy tetszőleges ottani pontból inditott részecske (akár 
massziv, akár zérus tömegű) *véges* sajátidőn/affin paraméterhosszon belül 
*kikerülhetetlenül* belezuhan a centumba, és ennek a sajátidőnek/affin 
paraméterhossznak a lehetséges maximális értékét a lyuk tömege és a 
részecske kezdeti poziciója meghatározza. Hogy az $r=2m$ fényszerű 
hiperfelület `eseményhorizont'-ként jelenik meg ennek a ténynek a 
következménye, mert az $r=2m$ hiperfelület az emlitett tulajdonsággal 
rendelkező pontok halmazának a *határa*.

A másik figyelemre méltó különlegessége a $0 < r < 2m$ tartomány 
geometriájának, hogy a $K$ szimmetriagenerátor térszerűvé válása miatt e 
tartományban az $r=const$, immár *térszerű* hiperfelületekben pl. bármely 
két $t=const$ ill. $t'=const$ sugarú gömbfelület felszine *azonos*, még 
akkor is ha pl. $t < t'$. Itt a téridőgeometria *homogén* (mint a 
kozmológiai modellekben), de már *nem stacionárius*.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2. Régóta ismert volt az a tény, hogy egy egzaktul gömbszimmetrikus anyag 
teljes gravitációs összeomlása során a centrumban szingularitás alakul ki. 
De ez nem meglepő, hisz ha a gravitációs összeomlás teljes (azaz a [nem 
porszerű] anyagban az egyre növekvő nyomás nem állitja meg az összeomlási 
folyamatot), akkor a gömbszimmetria miatt az anyag összes részecskéje a 
centrumba kell, hogy essen. Igy van ez a newtoni gravitációelméletben is. 
Csakhogy a Newton elméletben kialakuló szingularitás *nem stabil* abban az 
értelemben, hogy a gömbszimmetrikus anyageloszlás kicsi, de *nem* 
gömbszimmetrikus perturbációja már azt eredményezi, hogy az anyag 
részecskéi zömmel elkerülik a centrumot, és ott nem alakul ki semmilyen 
szingularitás. De egy *reális* összeomlási folyamat bizonyosan nem 
rendelkezik semmilyen *egzakt* geometriai szimmetriával. A Newton 
elméletben tehát a gömbszimmetrikus összeomási folyamatban kialakuló 
szingularitás `nem fizikai', annak megjelenése a magas fokú egzakt 
geometriai szimmetriák, nevezetesen a gömbszimmetria következménye.

A kérdés tehát az, hogy az általános relativitáselmélet szerint is 
ugyanez-e a helyzet; azaz hogy a szimmetrikus (és analitikusan 
végigszámolható!) esetekben megjelenő szingularitás most is csupán a magas 
fokú egzakt geometriai szimmetriák következménye-e. A Landau iskolához 
tartozó Lifsic és Kalitnyikov perturbációs számolásai ez látszottak 
alátámasztani. De mivel az általános relativitáselmélet alapegyenletei, 
azaz az Einstein egyenletek erősen nemlineárisak, erős kétségek merültek 
fel a szokásos perturbativ módszerek megbizhatóságával, és a 
Lifsic--Kalitnyikov vizsgálatok konklúziójával kapcsolatban.

De akkor hogyan dönthető el, hogy egy nem-szimmetrikus összeomlási 
folyamatban kialakul-e *fizikai* szingularitás? Van-e olyan matematikai 
módszer, amellyel biztonsággal eldönthető ez a kérdés? További, és még 
nehezebb probléma, hogy korábban amit fekete lyuknak lehetett nevezni, az 
mindig az Einstein egyenletek egy (gömb- vagy tengelyszimmetrikus) *egzakt 
megoldásában* jelent meg, és `mindenki tudta' hogy mi is a lyuk. De ha 
nincsenek ilyen szimmetriák és megoldások, akkor mit kell `fekete lyuk 
tartománynak' hivni; azaz mi a kritériuma annak, hogy egy adott téridő 
(azaz megoldása az Einstein egyenleteknek) fekete lyukat is tartalmaz? 
Másként fogalmazva: mi az az általános, mindenféle szimmetria lététől 
függetlenül matematikailag is jól definiált fogalom, amivel a fekete lyuk 
lényegi tulajdonsága megragadható, s amelyre alapozva a fekete lyukak 
tulajdonságaira vonatkozó állitások matematikailag is bizonyithatók és, 
lévén a fizika kvantitativ tudomány, *kvantitativ* összefüggések 
származtathatók?

Mivel a korábbi perturbativ módszerek segitségével nem sikerült a kérdést 
eldönteni, új technikára/módszerre, esetleg paradigmaváltásra volt 
szükség. Egy ilyen paradigmaváltást eredményezett Penrose [2] cikke. Ez 
volt az a publikáció, amelyben először megjelent az a matematikailag is 
jól definiált fogalom, a zárt csapdázott felület fogalma, amivel a fekete 
lyukak lényege egzakt geometriai szimmetriáktól függetlenül is megfogható, 
és kvantitative is jellemezhető.

Hogy e fogalom tartalmát világosan lássuk, vegyünk egy (nem feltétlenül 
gömbszimmetrikus) gömbi topológiájú felületet a közönséges 3 dimenziós 
térben, és inditsunk egy adott időpillanatban a felület minden pontjából a 
felületre merőleges irányokban egy fényjelet, mind kifelé mind befelé (a 
felület belsejébe). Ezek a fényjelek egy-egy hullámfrontot alkotnak, és 
azt, hogy hogyan terjednek a felülettől távolodva, az adott tér 
geometriája határozza meg. A sik 3 dimenziós térben a befelé induló 
fényjelek alkotta hullámfront felszine természetesen *monoton csökken*, 
mig, a várakozásainknak megfelelően, a kifele indulóké *monoton nő*.

A zárt csapdázott felület a téridőben egy olyan zárt (pl. gömbi 
topológiájú) térszerű felület, hogy a róla merőlegesen nemcsak a befele, 
hanem a *kifele induló* fényjelek alkotta hullámfront minden egyes 
felületdarabjának a felszine is szigorúan monoton módon *csökken*. E 
fogalom nyilván független mindenféle szimmetriától, és stabil is (abban az 
értelemben, hogy kicsit deformálva a felületet és kissé megváltoztatva a 
téridőgeometriát, a deformált zárt csapdázott felület még mindig zárt 
csapdázott felület marad). A definició mögött az a kép van, hogy a felület 
olyan erős gravitációs centrumot zár körül, ami már a kifele induló fényt 
sem engedi tovaterjedni. Ilyen felületek pl. a Schwarzschild téridő $0 < r 
< 2m$ tartományának az $r=const$, $t=const$ felületei is. Bizonyitható 
[4], hogy ilyen felületek az anyag elég kis tartományba való 
koncentrálásával is létrejönnek.

Hogy e fogalom mennyire jól ragadja meg a fekete lyukak lényegi 
tulajdonságát, azt a [2] publikációban bizonyitott és e fogalomra épülő 
tétel, azaz Penrose szingularitástétele, mutatja:
Ha
(1) az Einstein egyenletek teljesülnek, 
(2) az anyag energiasűrűségét minden megfigyelő nemnegativnak látja, 
(3) a téridő geometriája és az anyagmezők értékei egy teljes, nemkompakt
    térszerű hiperfelületen (ún. Cauchy felületen) megadott kezdeti
    adatokból megjósolhatók, 
(4) a téridőben van egy zárt csapdázott felület, 
akkor a téridő tartalmaz olyan fényszerű geodetikust, ami nem értelmezett 
az affin paraméterének a tetszőlegesen nagy értékére. 
Más szóval, ez a geodetikus *véges* affin paraméterhosszon belül kifut a 
téridő peremére; vagyis az ilyen téridők határpontjai között vannak 
olyanok is, amelyek a téridő belső, reguláris pontjaitól *véges* affin 
távolságra vannak. Ezek a szingularitások.

A csapdázott felület fogalmának a bevezetése és a most idézett tétel 
bizonyitása valódi *paradigmaváltást* is jelentett a gondolkodásunkban és 
új matematikai eszközöket hozott az általános relativitáselméletbe. Ez 
elsősorban a topológia, differenciáltopológia és a globális 
differenciálgeometria fogalmainak és módszereinek az egyre kiterjedtebb 
alkalmazását eredményezte. Az új módszerek lehetővé tették olyan kérdések 
megválaszolását is, amelyek a korábbi technikákkal, pl. a 
differenciálegyenletek lokális analizisével, nem voltak megválaszolhatók. 
Ezen globális topológiai/geometriai módszereket mutatja be Penrose immár 
klasszikusá vált s a szakma alapművének tekinthető [5] dolgozata. Ezzel 
Penrose egy új iskolát teremtett a modern általános relativitáselméletben. 
Hawking és Ellis [3] monográfiája is nagyban ezen alapul.

Penrose [2]-beli klasszikus szingularitástételét öt évvel később Hawking 
és Penrose általánositotta ill. terjesztette ki kozmológiai 
szingularitások létét is megjósló tétellé [6], az [5]-beli globális 
technikák teljes tárházának egy parádés alkalmazásaként.

Eredetileg a téridő szingularitásait az Einstein egyenletek egzakt 
megoldásaiban úgy azonositottuk, hogy azok a téridő peremén lévő, de a 
téridő reguláris pontjaitól véges távolságra lévő azon `pontok' (vagy épp 
`felületek'), ahol a görbület valamilyen módon végtelenné válik. A Penrose 
és Hawking--Penrose-féle szingularitástételek az eredeti formájukban 
azonban semmit nem mondanak a görbület viselkedéséről. Csak annyit 
garantálnak, hogy a perem pontjai között vannak olyanok, amelyek a belső 
pontoktól véges affin távolságra vannak, de azt már nem, hogy az e 
pontokba futó geodetikusok mentén a görbület divergál. Meglepő módon egy 
ezzel épp ellentétes irányba mutató eredmény származtatható: megmutatható 
[7], hogy mind a Penrose, mind a Hawking--Penrose (valamint a [3] 
monográfiában található további három) szingularitástétel bizonyitása 
módositható oly módon, hogy a tételek eredeti feltételei nem csak a 
szingularitásokba futó geodetikusok létét garantálják, hanem azt is, hogy 
ezek mentén a görbületnek a geodetikusok által meghatározott komponensei 
*nem* divergálhatnak akármilyen gyorsan. A Penrose-féle szingularitástétel 
jelentőségét, tanulságait is áttekintő és csaknem teljes irodalomjegyzéket 
adó viszonylag friss összefoglaló cikk a [8] publikáció.

Végül, a teljesség kedvéért meg kell jegyeznünk, hogy a fekete lyukak 
kapcsán Hawking vitte végig a Penrose által kezdett paradigmaváltást: a 
hetvenes évek elején ő definiálta matematikailag is az eseményhorizontot, 
amelyről bizonyitotta, hogy az egy olyan tartományt zár körül, ami 
tartalmazza az összes zárt csapdázott felületet [3]; és hogy az 
eseményhorizont úgy viselkedik, mint egy termodinamikai rendszer, 
kielégitve a termodinamika főtételeivel analóg tételeket [9]. S hogy a 
fekete lyukak ezen viselkedése nem csak *analóg* a termodinamikai 
rendszerekével, hanem ezek *valódi fizikai* hőmérséklettel rendelkeznek, a 
Hawking sugárzás néhány évvel később megjósolt jelensége mutatja [10].

Stephen Hawkingnak is ott lett volna a helye a most dijazottak között. (De 
akkor ki maradt volna ki?)


[1] Kovács József, Fekete lyukak kutatói kapták a fizikai Nobel-díjat
        2020-ban, Magyar Tudomány, 2021/02
        https://mersz.hu/hivatkozas/matud202102_f54392#matud202102_f54392

[2] R. Penrose, Gravitational collapse and space-time singularities,
        Phys. Rev. Lett. vol 14, pp 57?59 (1965)

[3] S. W. Hawking, G.F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Spacetime,
        Cambridge Univ. Press, Cambridge 1973

[4] R. Schoen, S.-T. Yau, The existence of a black hole due to
        condensation of matter, Commun. Math. Phys. vol 90, pp 575 (1983)

    P. Bizon, E. Malec, N. \'O Murchadha, Trapped surfaces due to
        concentration of matter in spherically symmetric geometries,
        Class. Quantum Grav. vol 6, pp 961 (1989)

[5] R. Penrose, Techniques of differential topology in relativity, SIAM,
        Philadelphia 1972

[6] S. W. Hawking, R. Penrose, The singularities of gravitational collapse
        and cosmology, Proc. Roy. Soc. Lond. A, vol 314, pp 529 (1970)

[7] L. B. Szabados, On singularity theorems and curvature growth, J. Math.
        Phys. vol 28, pp 142 (1987)

[8] J. M. M. Senovilla, D. Garfinkle, The 1965 Penrose singularity
        theorem, Class. Quantum Grav. vol 32, (2015) 124008

[9] J. M. Bardeen, B. Carter, S. W. Hawking, The four laws of black hole
        mechanics, Commun. Math. Phys. vol 31, 161 (1973)

[10] S. W. Hawking, Particle creation by black holes, Commun. Math. Phys.
        vol 43, 199 (1975)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Szabados László
(Wigner Fizikai Kutatóközpont,
Elméleti Osztály)