Skip to Content.
Sympa Menu

fizinfo - [Fizinfo] Két (hosszabb) megjegyzés a 2020 évi fizikai Nobel dij kapcsán

fizinfo AT lists.kfki.hu

Subject: ELFT HÍRADÓ

List archive

[Fizinfo] Két (hosszabb) megjegyzés a 2020 évi fizikai Nobel dij kapcsán


Chronological Thread 
  • From: "Szabados,L." <lbszab AT rmki.kfki.hu>
  • To: fizinfo AT lists.kfki.hu
  • Subject: [Fizinfo] Két (hosszabb) megjegyzés a 2020 évi fizikai Nobel dij kapcsán
  • Date: Tue, 16 Feb 2021 15:38:24 +0100 (CET)
  • Authentication-results: smtp0.kfki.hu (amavisd-new); dkim=pass (1024-bit key) reason="pass (just generated, assumed good)" header.d=rmki.kfki.hu



T. Lista!

A 2020 évi fizikai Nobel dij kapcsán a hazai ismeretterjesztő irodalomban több cikk is megjelent (ill. vélekedés kapott nyilvánosságot az elektronikus sajtóban). A megmosolyogtatóan naiv vagy bosszantóan dilettáns irások közül csillagászati szakmai igényességével toronymagasan emelkedik ki Kovács Józsefnek a Magyar Tudomány februári számában megjelent irása [1]. Ebben nagyon jól olvasható összefoglalását kapjuk a két dijazott csillagász kutató, Andrea Ghez és Reinhard Genzel eredményének (és az általuk használt technikának): hogy miért is lehetünk biztosak abban, hogy a Tejútrendszer centumában egy kb. 4 millió Nap-tömegű fekete lyuk van.

A cikk Roger Penrose immár klasszikus, az általános relativitáselmélet első modern szingularitástételét publikáló [2] cikkének az ismertetése és jelentőségének a bemutatása azonban egy kissé problematikusnak látszik, mégpedig két okból.

1. A Schwarzschild fekete lyuk kapcsán azt olvassuk, hogy `A Schwarzschild-téridőben az eseményhorizontot sugárirányban befelé átlépve a tér és az idő szerepet cserél, és a gömbi koordinátákban a középpont felé mutató "befelé" az idő lesz.' A probléma az, hogy ez az állitás nem igaz. De nem is érdemelne ez a korrigálandó mondat különösebb figyelmet, ha ez nem jelent volna meg ugyanigy a Fizikai Társulat ismeretterjesztő lapjának a novemberi számában, ugyancsak a 2020-as fizikai Nobel dij kapcsán. (Itt további, a fekete lyukak tulajdonságaira vonatkozó meglehetősen zavarba ejtő megállapitás mellett még ráadásul szép szines ábrán illusztrálva is van, hogy a lyukon kivül `tér', azon belül meg `idő' van. Tehát úgy tűnik, hogy nem csupán szerencsétlen megfogalmazásról, hanem egy, a koordináták szerepének a félreértéséről van szó.)

2. Nem derül ki, hogy mi a tényleges jelentősége Penrose cikkének a fekete lyukak elméletében: Nem az, hogy az adott feltételek mellett szingularitások alakulnak ki (hiszen hogy mi van a horizonton belül, az a külső megfigyelő számára és a horizonton kivüli világ folyamatai szempontjából -- a lyuk gravitációs `erőterének' a dipólnál magasabb rendű és gyorsan lecsengő multipól momentumain túl -- irreleváns); de nem is az, amit más helyen olvashatunk, miszerint `bebizonyitotta, hogy az általános relativitáselmélet szerint a gravitációs összeomlás eredményeként fekete lyukak jönnek létre'. Nem, a dijazott cikkben nem azt bizonyitotta be.

A jelen irásunk célja, hogy korrigáljuk (ill. pontositsuk) az 1. pontban emlitett hibás állitást, rámutatva arra, hogy mi lehet a félreértés oka; és hogy egy korrekt összefoglalását adjuk Penrose hires cikkének és világosan lássuk annak tényleges jelentőségét a fekete lyukak fizikájában.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1. Tehát igaz-e, hogy `A Schwarzschild-téridőben az eseményhorizontot sugárirányban befelé átlépve a tér és az idő szerepet cserél, és a gömbi koordinátákban a középpont felé mutató "befelé" az idő lesz'?

Nem, egyáltalán nem. Ezért a fenti állitást korrigálandó/pontositandó, először foglaljuk össze, hogy honnan is jönnek a $(t,r,\theta,\phi)$ ún. Schwarzschild koordináták.

A Schwarzschild téridőnek négy metrikus szimmetriája van: a gömbszimmetria (3 generátorral) és egy olyan szimmetria, ami az aszimptotikusan sik tartomány sztatikusságát eredményezi. E generátorok, amik vektormezők a téridősokaságon, természetesen Lie algebrát alkotnak, és ebben ez utóbbi szimmetria generátora, jelöljük ezt $K$-val, kommutál a gömbszimmetria három generátorával. (Régebben a diákjaimnak mindig feladtam házi feladatként, hogy bizonyitsák be, hogy bármely olyan négy dimenziós valós Lie algebra aminek az $so(3)$ rész Lie algebrája, szükségképpen direktösszeg: $so(3) \oplus I$. Igy az $I$ elemei mindig kommutálnak az $so(3)$ elemeivel, függetlenül attól, hogy e generátorok most épp vektormezők.) A gömbszimmetriát generáló vektormezők mindenütt térszerűek, de a $K$ vektormező kauzális jellege a téridősokaság különböző tartományain más és más: $K$ az eseményhorizonton kivül *időszerű*, de a horizonton *fényszerűvé*, a horizont mögött pedig *térszerűvé* válik. A $(t,r,\theta,\phi)$ koordináták a fenti szimmetriagenerátorokhoz vannak illesztve; s hogy ezek a koordináták igy bevezethetők, a gömbszimmetria generátorainak és a $K$-nak a kommutálása teszi lehetővé. Speciálisan, a $t$ koordináta a $K$ integrálgörbéi menti természetes paraméter, *függetlenül* a $K$ kauzális jellegétől. A horizont mögött tehát $t$ már *térszerű* görbék természetes paramétere, merthogy ott a $K$ már térszerű. Abból, hogy a horizonton kivül $t$ `időkoordináta' (meghogy $t$-vel jelöltük), még nem következik, hogy az a horizonton belül is az `idővel' kell, hogy kapcsolatos legyen. Igy aztán a horizont átlépése során a $t$ `térszerű' (és az $r$ `időszerű') *koordinátává* válásából a `tér'-re és az `idő'-re semmi (és igy speciálisan azok `felcserélődése') sem következik. Csak a *koordináták* kauzális jellege változik.

Az `idő' és a `tér' ui. *nem* cserélődik fel a horizonton való áthaladás során, mivel azt, hogy mi az idő- ill. térirány, minden pontban a *lokális fénykúpok* mondják meg: egy irány időszerű és jövő/múlt irányitott, ha az a lokális jövő/múlt fénykúp belsejébe mutat, és térszerű, ha azon kivülre. Mivel a fénykúpok a téridősokaságon folytonosan (sőt, a Schwarzschild geometriában analitikusan!) változnak, az idő- ill. térirányok fogalmában semmiféle nem folytonos, ugrásszerű változás sem állhat elő. Ez jól látszódik, ha a metrikát pl. az avanzsált Eddington--Finkelstein koordinátákban irjuk fel (ami a Minkowski téridő $(v,r,\theta,\phi)$ avanzsált gömbi koordinátáival analóg), és amiben a horizont egy *reguláris, analitikus* fényszerű hiperfelület lesz és a lokális fénykúpok is e koordináták *analitikus* függvényeivel adhatók meg. A Penrose hires [2] cikkében található ábra is ebben a koordinátarendszerben mutatja be a gravitációs összeomlás folyamatát és a horizont és a szingularitás kialakulását.

Ugyanakkor a $(v,r,\theta,\phi) --> (t,r,\theta,\phi)$ koordinátatranszformáció Jacobi mátrixának a determinánsa a horizonton (és csak ott) zérus. A $(t,r,\theta,\phi)$ koordináták tehát *nem* globálisan jól definált koordináták, azok csak a $0 < r < 2m$ és a $2m < r < \infty$ *diszjunkt, nyilt* tartományokon jól értelmezettek. Az egyik nyilt tartomány Schwarzschild koordinátái *nem* folytatásai a másik nyilt tartomány Schwarzschild koordinátáinak. A $(t,r,\theta,\phi)$ koordinátarendszerek a horizonton *szingulárissá* válnak. Igy a koordináták egyik tartománybeli interpretációja sem vihető át automatikusan a másik tartományra. Hogy a horizonton a teljesen reguláris fénykúpok mennyire degeneráltnak *tűnnek* a Schwarzschild koordinátákban, jól mutatja a 23. ábra Hawking és Ellis klasszikus [3] monográfiájának a 152. oldalán. Talán egy ilyen ábra sugallhatta azt a téves képzetet, hogy a horizontot átlépve `az idő és a tér felcserélődik'.

A Schwarzschild koordináták fenti viselkedése teljesen hasonló a Minkowski téridőben a kvantumtérelméleti Unruh effektus kapcsán megismert $(T,X,Y,Z)$ ún. Rindler koordináták viselkedéséhez. Mig a Minkowski téridő szokásos $(t,x,y,z)$ Descartes koordinátáit a téridő valamely időszerű transzlációs szimmetriát generáló vektormezőjéhez illesztjük, a Rindler koordinátákat pl. az $x$-irányú Lorentz-boostokat generáló vektormezőhöz,

$K = x (\partial/\partial t) + t (\partial/\partial x)$

-hez adaptáljuk. A $T$ ezen vektormező integrálgörbéi menti természetes paraméter. Csakhogy, a Schwarzschild megoldásbeli $K$ vektormezőhöz teljesen hasonlóan, ez a vektormező sem mindenhol időszerű: $K$ időszerű az $x>\vert t\vert$ és $-x>\vert t\vert$ diszjunkt, nyilt tartományokon, fényszerűvé válik a $t=\pm x$ fényszerű hipersikokon, és térszerű a $t>\vert x\vert$ és $-t>\vert x\vert$ nyilt tartományokon. (A könnyebb érthetőség kedvéért javasoljuk a kedves olvasónak e tartományok lerajzolását egy papirlapra.) Ez utóbbi két tartományon tehát a $T$ koordináta *térszerű* integrálgörbék természetes paramétere, miközben az az előbbi kettőn még *időszerű* integrálgörbék paramétere. De ez alapján senki sem gondolná, mint ahogy ebből nem is következik, hogy a Minkowski téridő bizonyos tartományaiban `az idő és a tér szerepet cserél' (csak azért, mert a Descartes helyett a Rindler koordinátákat kezdtük el használni); pedig a helyzet pontosan ugyanaz, mint amit a Schwarzschild téridő kapcsán láttunk. Hasonlóan, a $T$ (idő)koordináta a $x>\vert t\vert$ tartományon a $t$ időkoorninátának monoton *növekvő*, de a $-x>\vert t\vert$ tartományon már monoton *csökkenő* függvénye. De ebből nem következik, hogy a Minkowski téridő bizonyos tartományaiban `az idő visszafelé telik'.

Hogy tehát mi a tér- és időirány, és hogy az utóbbiak közül melyik a jövő és melyik a múlt, a fekete lyukak belsejében is a lokális fénykúpok mondják meg, és nem a koordináták. Ugyanakkor, a Schwarzschild megoldásban a $0 < r < 2m$ tartomány valóban különös tulajdonságokkal rendelkezik. Például, hogy egy tetszőleges ottani pontból inditott részecske (akár massziv, akár zérus tömegű) *véges* sajátidőn/affin paraméterhosszon belül *kikerülhetetlenül* belezuhan a centumba, és ennek a sajátidőnek/affin paraméterhossznak a lehetséges maximális értékét a lyuk tömege és a részecske kezdeti poziciója meghatározza. Hogy az $r=2m$ fényszerű hiperfelület `eseményhorizont'-ként jelenik meg ennek a ténynek a következménye, mert az $r=2m$ hiperfelület az emlitett tulajdonsággal rendelkező pontok halmazának a *határa*.

A másik figyelemre méltó különlegessége a $0 < r < 2m$ tartomány geometriájának, hogy a $K$ szimmetriagenerátor térszerűvé válása miatt e tartományban az $r=const$, immár *térszerű* hiperfelületekben pl. bármely két $t=const$ ill. $t'=const$ sugarú gömbfelület felszine *azonos*, még akkor is ha pl. $t < t'$. Itt a téridőgeometria *homogén* (mint a kozmológiai modellekben), de már *nem stacionárius*.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2. Régóta ismert volt az a tény, hogy egy egzaktul gömbszimmetrikus anyag teljes gravitációs összeomlása során a centrumban szingularitás alakul ki. De ez nem meglepő, hisz ha a gravitációs összeomlás teljes (azaz a [nem porszerű] anyagban az egyre növekvő nyomás nem állitja meg az összeomlási folyamatot), akkor a gömbszimmetria miatt az anyag összes részecskéje a centrumba kell, hogy essen. Igy van ez a newtoni gravitációelméletben is. Csakhogy a Newton elméletben kialakuló szingularitás *nem stabil* abban az értelemben, hogy a gömbszimmetrikus anyageloszlás kicsi, de *nem* gömbszimmetrikus perturbációja már azt eredményezi, hogy az anyag részecskéi zömmel elkerülik a centrumot, és ott nem alakul ki semmilyen szingularitás. De egy *reális* összeomlási folyamat bizonyosan nem rendelkezik semmilyen *egzakt* geometriai szimmetriával. A Newton elméletben tehát a gömbszimmetrikus összeomási folyamatban kialakuló szingularitás `nem fizikai', annak megjelenése a magas fokú egzakt geometriai szimmetriák, nevezetesen a gömbszimmetria következménye.

A kérdés tehát az, hogy az általános relativitáselmélet szerint is ugyanez-e a helyzet; azaz hogy a szimmetrikus (és analitikusan végigszámolható!) esetekben megjelenő szingularitás most is csupán a magas fokú egzakt geometriai szimmetriák következménye-e. A Landau iskolához tartozó Lifsic és Kalitnyikov perturbációs számolásai ez látszottak alátámasztani. De mivel az általános relativitáselmélet alapegyenletei, azaz az Einstein egyenletek erősen nemlineárisak, erős kétségek merültek fel a szokásos perturbativ módszerek megbizhatóságával, és a Lifsic--Kalitnyikov vizsgálatok konklúziójával kapcsolatban.

De akkor hogyan dönthető el, hogy egy nem-szimmetrikus összeomlási folyamatban kialakul-e *fizikai* szingularitás? Van-e olyan matematikai módszer, amellyel biztonsággal eldönthető ez a kérdés? További, és még nehezebb probléma, hogy korábban amit fekete lyuknak lehetett nevezni, az mindig az Einstein egyenletek egy (gömb- vagy tengelyszimmetrikus) *egzakt megoldásában* jelent meg, és `mindenki tudta' hogy mi is a lyuk. De ha nincsenek ilyen szimmetriák és megoldások, akkor mit kell `fekete lyuk tartománynak' hivni; azaz mi a kritériuma annak, hogy egy adott téridő (azaz megoldása az Einstein egyenleteknek) fekete lyukat is tartalmaz? Másként fogalmazva: mi az az általános, mindenféle szimmetria lététől függetlenül matematikailag is jól definiált fogalom, amivel a fekete lyuk lényegi tulajdonsága megragadható, s amelyre alapozva a fekete lyukak tulajdonságaira vonatkozó állitások matematikailag is bizonyithatók és, lévén a fizika kvantitativ tudomány, *kvantitativ* összefüggések származtathatók?

Mivel a korábbi perturbativ módszerek segitségével nem sikerült a kérdést eldönteni, új technikára/módszerre, esetleg paradigmaváltásra volt szükség. Egy ilyen paradigmaváltást eredményezett Penrose [2] cikke. Ez volt az a publikáció, amelyben először megjelent az a matematikailag is jól definiált fogalom, a zárt csapdázott felület fogalma, amivel a fekete lyukak lényege egzakt geometriai szimmetriáktól függetlenül is megfogható, és kvantitative is jellemezhető.

Hogy e fogalom tartalmát világosan lássuk, vegyünk egy (nem feltétlenül gömbszimmetrikus) gömbi topológiájú felületet a közönséges 3 dimenziós térben, és inditsunk egy adott időpillanatban a felület minden pontjából a felületre merőleges irányokban egy fényjelet, mind kifelé mind befelé (a felület belsejébe). Ezek a fényjelek egy-egy hullámfrontot alkotnak, és azt, hogy hogyan terjednek a felülettől távolodva, az adott tér geometriája határozza meg. A sik 3 dimenziós térben a befelé induló fényjelek alkotta hullámfront felszine természetesen *monoton csökken*, mig, a várakozásainknak megfelelően, a kifele indulóké *monoton nő*.

A zárt csapdázott felület a téridőben egy olyan zárt (pl. gömbi topológiájú) térszerű felület, hogy a róla merőlegesen nemcsak a befele, hanem a *kifele induló* fényjelek alkotta hullámfront minden egyes felületdarabjának a felszine is szigorúan monoton módon *csökken*. E fogalom nyilván független mindenféle szimmetriától, és stabil is (abban az értelemben, hogy kicsit deformálva a felületet és kissé megváltoztatva a téridőgeometriát, a deformált zárt csapdázott felület még mindig zárt csapdázott felület marad). A definició mögött az a kép van, hogy a felület olyan erős gravitációs centrumot zár körül, ami már a kifele induló fényt sem engedi tovaterjedni. Ilyen felületek pl. a Schwarzschild téridő $0 < r < 2m$ tartományának az $r=const$, $t=const$ felületei is. Bizonyitható [4], hogy ilyen felületek az anyag elég kis tartományba való koncentrálásával is létrejönnek.

Hogy e fogalom mennyire jól ragadja meg a fekete lyukak lényegi tulajdonságát, azt a [2] publikációban bizonyitott és e fogalomra épülő tétel, azaz Penrose szingularitástétele, mutatja:
Ha
(1) az Einstein egyenletek teljesülnek, (2) az anyag energiasűrűségét minden megfigyelő nemnegativnak látja, (3) a téridő geometriája és az anyagmezők értékei egy teljes, nemkompakt
térszerű hiperfelületen (ún. Cauchy felületen) megadott kezdeti
adatokból megjósolhatók, (4) a téridőben van egy zárt csapdázott felület, akkor a téridő tartalmaz olyan fényszerű geodetikust, ami nem értelmezett az affin paraméterének a tetszőlegesen nagy értékére. Más szóval, ez a geodetikus *véges* affin paraméterhosszon belül kifut a téridő peremére; vagyis az ilyen téridők határpontjai között vannak olyanok is, amelyek a téridő belső, reguláris pontjaitól *véges* affin távolságra vannak. Ezek a szingularitások.

A csapdázott felület fogalmának a bevezetése és a most idézett tétel bizonyitása valódi *paradigmaváltást* is jelentett a gondolkodásunkban és új matematikai eszközöket hozott az általános relativitáselméletbe. Ez elsősorban a topológia, differenciáltopológia és a globális differenciálgeometria fogalmainak és módszereinek az egyre kiterjedtebb alkalmazását eredményezte. Az új módszerek lehetővé tették olyan kérdések megválaszolását is, amelyek a korábbi technikákkal, pl. a differenciálegyenletek lokális analizisével, nem voltak megválaszolhatók. Ezen globális topológiai/geometriai módszereket mutatja be Penrose immár klasszikusá vált s a szakma alapművének tekinthető [5] dolgozata. Ezzel Penrose egy új iskolát teremtett a modern általános relativitáselméletben. Hawking és Ellis [3] monográfiája is nagyban ezen alapul.

Penrose [2]-beli klasszikus szingularitástételét öt évvel később Hawking és Penrose általánositotta ill. terjesztette ki kozmológiai szingularitások létét is megjósló tétellé [6], az [5]-beli globális technikák teljes tárházának egy parádés alkalmazásaként.

Eredetileg a téridő szingularitásait az Einstein egyenletek egzakt megoldásaiban úgy azonositottuk, hogy azok a téridő peremén lévő, de a téridő reguláris pontjaitól véges távolságra lévő azon `pontok' (vagy épp `felületek'), ahol a görbület valamilyen módon végtelenné válik. A Penrose és Hawking--Penrose-féle szingularitástételek az eredeti formájukban azonban semmit nem mondanak a görbület viselkedéséről. Csak annyit garantálnak, hogy a perem pontjai között vannak olyanok, amelyek a belső pontoktól véges affin távolságra vannak, de azt már nem, hogy az e pontokba futó geodetikusok mentén a görbület divergál. Meglepő módon egy ezzel épp ellentétes irányba mutató eredmény származtatható: megmutatható [7], hogy mind a Penrose, mind a Hawking--Penrose (valamint a [3] monográfiában található további három) szingularitástétel bizonyitása módositható oly módon, hogy a tételek eredeti feltételei nem csak a szingularitásokba futó geodetikusok létét garantálják, hanem azt is, hogy ezek mentén a görbületnek a geodetikusok által meghatározott komponensei *nem* divergálhatnak akármilyen gyorsan. A Penrose-féle szingularitástétel jelentőségét, tanulságait is áttekintő és csaknem teljes irodalomjegyzéket adó viszonylag friss összefoglaló cikk a [8] publikáció.

Végül, a teljesség kedvéért meg kell jegyeznünk, hogy a fekete lyukak kapcsán Hawking vitte végig a Penrose által kezdett paradigmaváltást: a hetvenes évek elején ő definiálta matematikailag is az eseményhorizontot, amelyről bizonyitotta, hogy az egy olyan tartományt zár körül, ami tartalmazza az összes zárt csapdázott felületet [3]; és hogy az eseményhorizont úgy viselkedik, mint egy termodinamikai rendszer, kielégitve a termodinamika főtételeivel analóg tételeket [9]. S hogy a fekete lyukak ezen viselkedése nem csak *analóg* a termodinamikai rendszerekével, hanem ezek *valódi fizikai* hőmérséklettel rendelkeznek, a Hawking sugárzás néhány évvel később megjósolt jelensége mutatja [10].

Stephen Hawkingnak is ott lett volna a helye a most dijazottak között. (De akkor ki maradt volna ki?)


[1] Kovács József, Fekete lyukak kutatói kapták a fizikai Nobel-díjat
2020-ban, Magyar Tudomány, 2021/02
https://mersz.hu/hivatkozas/matud202102_f54392#matud202102_f54392

[2] R. Penrose, Gravitational collapse and space-time singularities,
Phys. Rev. Lett. vol 14, pp 57?59 (1965)

[3] S. W. Hawking, G.F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Spacetime,
Cambridge Univ. Press, Cambridge 1973

[4] R. Schoen, S.-T. Yau, The existence of a black hole due to
condensation of matter, Commun. Math. Phys. vol 90, pp 575 (1983)

P. Bizon, E. Malec, N. \'O Murchadha, Trapped surfaces due to
concentration of matter in spherically symmetric geometries,
Class. Quantum Grav. vol 6, pp 961 (1989)

[5] R. Penrose, Techniques of differential topology in relativity, SIAM,
Philadelphia 1972

[6] S. W. Hawking, R. Penrose, The singularities of gravitational collapse
and cosmology, Proc. Roy. Soc. Lond. A, vol 314, pp 529 (1970)

[7] L. B. Szabados, On singularity theorems and curvature growth, J. Math.
Phys. vol 28, pp 142 (1987)

[8] J. M. M. Senovilla, D. Garfinkle, The 1965 Penrose singularity
theorem, Class. Quantum Grav. vol 32, (2015) 124008

[9] J. M. Bardeen, B. Carter, S. W. Hawking, The four laws of black hole
mechanics, Commun. Math. Phys. vol 31, 161 (1973)

[10] S. W. Hawking, Particle creation by black holes, Commun. Math. Phys.
vol 43, 199 (1975)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Szabados László
(Wigner Fizikai Kutatóközpont,
Elméleti Osztály)




Archive powered by MHonArc 2.6.19+.

Top of Page