ELFT HÍRADÓ

[Fehér László <lfeher AT physx.u-szeged.hu>]

Előadó: Varró Sándor,  ELI ALPS, Szeged
Cím: Neumann János egyértelműségi tétele és holomorf függvények Hilbert-terei
a kvantumoptikában

Időpont: 2023. október 19. (csütörtök) 13:00
Hely: SZTE TTIK, Elméleti Fizikai Tanszék, Bay Zoltán terem

Kivonat: Neumann János a Schrödinger-féle hely- és impulzusoperátorok (illetve
ezek Weyl-féle alakjának) egyértelműségét diszkrét paraméterű koherens
állapotok segítségével bizonyította [1]. Vehetjük úgy is, hogy a Bargmann
által később bevezetett [2] holomorf függvénytér egy speciális bázisát alkotta
meg (amelynek teljességét később bizonyították). Az előadás első részében
röviden bemutatjuk a teljes komplex síkon értelmezett holomorf függvények
terét [2], illetve a Neumann-rácsállapotokat [1], amelyek jól használhatók
bizonyos speciális prolémák megoldásához [3], [4].

A második részben közlendő eredményeket a korábban bevezetett reguláris
fázisállapotok [5] tulajdonságaiból vezetjük le. Ezek a speciális SU(1,1)
koherens állapotok egyrészt egy új F exponenciális fázisoperátor [5]
sajátállapotai, a komplex egységkörlap belsejéhez tartozó z sajátértékekkel.
Másrészt olyan U(g) unitér operátorokkal állíthatók elő a vákuumból, amelyek
egy parametrikus kölcsönhatás evolúciós operátorátorai, ahol g a forrást
jellemző komplex z paramétert és az eltelt időt tartalmazza. Bebizonyítjuk,
hogy a vizsgált rendszer Hamilton dinamikájának tranzitivitása akkor
biztosított, ha a megfelelő {g} paraméterhalmaz kielégíti a komplex
egységkörlapon értelmezett Möbius-transzformációk számolási szabályait. Ez
egyben azt is jelenti, hogy a kvantum fázistér mozgásai a Bolyai-Lobacsevszkíj
síkon értelmezhetők. Azt is megmutatjuk, hogy az új F exponenciális
fázisoperátor [5] U(g) által generált transzformációja F tört-lineáris, azaz
(operátor-) Möbius-függvényét eredményezi, tehát F ún. "homogén
kontrakció" [6]. Végül bebizonyítjuk, hogy ha a Hilbert tér elemeit a
reguláris fázisállapotokra vetítjük, akkor z holomorf függvényeit kapjuk az
egységkör belsejében, amelyek ún. súlyozott Bergman-teret [7] alkotnak.

Irodalom:

[1] Neumann J v 1931 Die Eindeutigkeit der Schrödingeschen Operatoren.
Mathematische Annalen 104, 415-458 (1931).

[2] Bargmann, V 1961 On a Hilbert space of analytic functions and an
associated integral transform. Commun. Pure and Applied Math., 14, 187-214
(1961).

[3] Schweber S 1967 On the application of Bargmann Hilbert spaces to dynamical
problems. Annals of Physics 41, 205-229 (1967).

[4] Gombkötő Á, Varró S, Mati P, and Földi P 2020 High-harmonic generation as
induced by a quantized field: Phase-space picture. Physical Review A 101,
013418 (2020).

[5] Varró S 2015 Regular phase operator and SU(1,1) coherent states of the
harmonic oscillator. Physica Scripta 90, 074053 (2015).

[6] Kérchy L 1999 On homogeneous contractions. Journal of Operator Theory 41,
121-126 (1999).

[7] Hedenmalm H, Korenblum B and  Zhu K, Theory of Bergman spaces. (Springer
Graduate Texts in  Mathematics 199 (2000).

Minden érdeklődőt szívesen látunk.

Üdvözlettel:  Fehér László