ELFT HÍRADÓ

[Major Janos <major AT pcmsr6.mpi-stuttgart.mpg.de>]

Tisztelt Fizinfo olvasok/irok!

Jo nehany hete abba a helyzetbe kerultem, hogy egy kedves (nyugalmazott
mernok) ismeros egy "egyszeru" kerdest tett fel nekem azzal a szokasos 
indoklassal, hogy egy fizikusnak az ilyesmit tudnia kell. Miutan
sem azonnal, sem pedig valamennyi (nem tulzasba vitt) utananezessel sem
talaltam ertheto es tavabbadhato valaszt, a legegyszerubb modszert
valasztottam: irtam a Fizinfo-nak. Szamos, reszben magan, reszben
nyilvanos valaszt kaptam: 

     EZUTON SZERETNEM MINDEN VALASZADONAK KOSZONETEMET KIFEJEZNI ! 

A valaszokbol sokat tanultam, azt hiszem, hogy meg is ertettem a
jelenseget. A megoldast tovabbadom a kerdest feltevonek es el fogom
mondani, hogy a magyar fizikus tarsadalom segitett a valaszadasban. 

Fontos informaciot kaptam GNADIG PETERtol. Azt irta, hogy kb. harom
evvel ezelott eppen ez a problema jelent meg a Kozepiskolai Matematikai
es Fizikai Lapok (KoMaL) feladatmegoldo pontversenyeben mint az FN 3118
szamu feladat. (Ha jol tudom, az N betu a nehez szo roviditese - ez
nemileg megnyugtato.)   

A megoldas a KoMaL 1999. evi aprilisi szamaban (49. evfolyam, 4. szam,
244. old.) jelent meg G. L. es V. P. alairassal. (Ez meg inkabb
megnyugtatott, hiszen a masodik monogram a feladat kituzojenek nevet
(Vanko Peter), az elso Galfi Laszloet takarja: ez egy olyan nehez
problema, hogy meg a diakok sem tudtak teljesen megoldani - ez pedig nem
fordul elo tul gyakran.) Ez a megoldas szamolassal egesziti ki 
PAL KAROLY FERENC Fizinfo-ra kuldott magyarazatat, ezert ide masolom a
megoldas fobb eredmenyeit:   


Kerdes: Budapesten december 22. az ev legrovidebb napja, de a Nap
december 11-en nyugszik le legkorabban es januar 2-an kel legkesobben. 
Hogyan lehetseges ez? 

Valasz: A napfelkelte es napnyugta jo kozelitessel szimmetrikusan
tortenik a Nap delelesenek (nevezzuk ezt a idot "del"-nek) az
idopontjahoz viszonyitva. Ha meghatarozzuk a napok hosszat es az orak
altal delben mutatott idot a naptari nap fuggvenyeben (ez az
un. idoegyenlet), akkor ki tudjuk szamitani azt, hogy mikor van
legkesobben hajnal es mikor legkorabban alkony. Ha a del idopontjanak es
a nappal hosszanak a napi valtozasa azonos nagysagrendu, akkor konnyen
elkepzelheto a szobanforgo jelenseg, vagyis az, hogy a hajnal es az
alkony szelsoertekei nem ugyanazon a napon kovetkeznek be.  

(a) A nappal hosszat a kovetkezo egyenlet irja le:

               cos (t Pi/12 ora) = - tg theta  tg delta(d)

ahol t a napfelkelte vagy napnyugta idopontja, 
theta = 19 fok (Budapest hosszusaga), 
delta pedig a Nap sugarainak az Egyenlito sikjaval bezart szoge 
(az egyenlet azt irja le, hogy hajnalkor es alkonyatkor a Fold es a Nap
kozeppontjanak iranyai - ahogy mi latjuk - merolegesek egymasra). delta
fugg a naptari naptol (d). Adott d -re az egyenlet egymast koveto
gyokeinek kulonbsege adja meg a keresett mennyiseget, a nappal hosszat,
azaz a  

               T_N(d) 

fuggvenyt. Ennek a fuggvenynek sem az analitikus alakja, sem pedig a
kepe nem szerepel az idezett megoldasban. 

(b) A idoegyenlet ket jarulekbol all: (1) a Fold palyaja ellipszis, azaz 
a Fold keruleti sebessege nem allando; (2) a Fold forgastengelye nem
meroleges keringesi sikjara (azaz az Ekliptikara; ez az a nevezetes 23
fok 27 perc szog), es meg ha a Foldrol nezve a Nap sebesseget az Ekliptikan 
allandonak tekintjuk is, a Nap Egyenlitore valo vetuletenek a sebessege
mar nem lesz allando. 

Ezen ket effektus (mivel mindketto kis jarulekot ad a del eltolodasahoz) 
egyszeruen osszeadhato, azaz a del idopontja a naptari nap fuggvenyeben
Budapesten jo kozelitessel 

    t_D(d) = 11 h 44  perc +
                + 7,7 perc sin(2 Pi (d - 1,5nap)/365 nap) + 
                + 9,8 perc sin(4 Pi (d + 9  nap)/365 nap)

Ennek a fuggvenynek a kepet is megtalalhatjuk az idezett megoldasban.

Fentiekbol a hajnal idopontja jo kozelitessel 

           t_H(d) = t_D(d) - T_N(d)/2 

es az alkonyate

           t_A(d) = t_D(d) + T_N(d)/2 

alakban irhato le. Ezen ket fuggveny kepe is szerepel az idezett
cikkben. A legrovidebb nappalt tehat a t_A(d) - t_H(d) fuggveny minimuma 
adja meg, amelynek napja nem eshet ossze a t_A(d) vagy a t_H(d)
fuggvenyek szelso ertekenek a napjaval, ha azok kulonbozoek. 

Udvozletem kuldom


Major Janos

   __________________________________________________________________ 
  |                                                                  |
  |  Major Janos                                     
major AT mf.mpg.de
 |
  |                                                  
major AT ill.fr
    |
  |  Max-Planck-Institut fur Metallforschung                         |
  |  Heisenbergstr. 1, D-70569 Stuttgart                             |
  |                                                                  |
  |  Tel.: (00-49-711)-689-1264/ -1901                   Fax: -1932  |
  |                                                                  |
  |  http://dxray.mpi-stuttgart.mpg.de                               |
  |__________________________________________________________________|