ELFT HÍRADÓ

[Tamás Kiss <kiss.tamas AT wigner.mta.hu>]

*Az Ito kalkulus és sztochasztikus differenciálegyenletek matematikai
megalapozása*

*Kornyik Miklós*
MTA Wigner FK SZFI
2017. július 5. 12:30, MTA Wigner FK SZFI, I. épület 1. emeleti Tanácsterem

A tanulószeminárium célja a sztochasztikus integrálás bevezetése és
matematikai tárgyalása. Sztochasztikus differenciálegyenletek általában
determinisztikus differenciálegyenletekből keletkeznek, úgy, hogy a
rendszer zajjal terhelődik, azaz ha X_t a rendszert leiró függvény, akkor
dX_t/dt= a(t,X_t)dt +b(t,X_t)\eta_t, ahol \eta_t zaj. Az előbbi egyenlet
megoldásához szükséges az \int_0^t b(s,X_s)\eta_s ds integrál értelmezése.
Látni fogjuk, hogy ez nem triviális feladat és az \eta_t tulajdonságaitól
is függ. Az \eta_t folyamatra általában úgy tekintünk, mint egy \eps_t
folytonos (trajektóriájú) folyamat infinitezimális megváltozása, továbbá
szokás még feltenni a független, normális növekményűséget és a
stacionáritás. A Brown-mozgás az egyetlen folyamat, amely kielégíti ezeket
a feltételeket. Ismeretes viszont, hogy a Brown-mozgás első variácója 1
valószínűséggel végtelen, azaz az előbb említett sztochasztikus integrált
nem tudjuk szokásos Riemann-Stieltjes integrálként értelmezni, más módszer
kell. Ki fog derülni, hogy ahány numerikus integrálási módszer annyiféle
sztochasztikus integrál létezik, a két legelterjedtebb az Ito
(balvégpont-szabály) és a Stratonovics (trapéz szabály) integrál. Mindkét
módszernek beszélünk az előnyeiről és hátrányairól. Az időtől függően
megnézünk néhány konkrét példát, amelyek a két integrálás közötti
különbségre is fényt derítenek.

Minden érdeklődőt szívesen látunk!
Kiss Tamás