ELFT HÍRADÓ

[Janos Asboth <asboth.janos AT wigner.mta.hu>]

WIGNER SZFI SZEMINÁRIUMKornyik Miklós

(BME Valószínűségelméleti és Statisztikai Tanszék, vendéglátó: Kiss Tamás)
"Véletlen mátrixok és sajátértékeik"

Időpont: 2016. június 30. (csütörtök) 10:00 (1 óra)
Hely: MTA Wigner FK SZFI, I. épület 1. emeleti Tanácsterem
Összefoglaló:

Előadásom négy részből fog állni.

Az első negyedben a véletlen mátrixok elméletének történelméről adok egy
rövid áttekintést. Először John Wishart foglalkozott véletlen mátrixokkal
mintakovarinca mátrixok vizsgálata során a 20-as években, majd később
Wigner Jenő használt véletlen mátrixokat nehézatomok spektrumának
becslésére. Ezután pedig bemutatom a legnépszerűbb véletlen mátrix
családokat.

A második negyedben a véletlen mátrixok egy alfajtájának, a Gaussian
Ensemble-knek (GE) egy fizikai modelljéről a Coulomb-gázról lesz szó. Az
invariáns családok mátrixai esetében a sajátértékek együttes eloszlása,
sűrűségfüggvénye analítikusan kiszámolható és e-ados alakra hozva a
kitevőben szereplő függvénye felfogható, mint egy n részecskés ún.
Coulomb-gáz Hamilton függvénye.

A harmadik negyedben a véletlen mátrixok és ortogonális polinomok
kapcsolatát vizsgálom meg, s bemutatom a témában elért két, témavezetőmmel
közös eredményünket. Rávilágítok, hogy nem csak a véletlen mátrixok
sajátértékeinek és a megfelelő ortogonális polinomok gyökeinek
aszimptotikája között van szoros kapcsolat, hanem véges, rögzített dimenzió
esetén a karakterisztikus polinomok és maguk az ortogonális polinomok
között is. Bizonyos, ám nem túl megszorító feltételek mellett egy véletlen
szimmetrikus mátrix karakterisztikus polinomjának várható értéke éppen az
n-edik 1 főegyütthatós Hermite polinom. Mintakovariancia típusú véletlen
mátrixok esetén pedig a dimenziónak megfelelő fokszámú és adott paraméterú
1 főegyütthatós Laguerre polinom. A témában elért két eredmény az Hermite-
és a Laguerre polinom aszimptotikájáral, valamint gyökeinek k-adik
hatványösszegeire vonatkoznak, s ezek kapcsolatára a véletlen mátrixokkal.

Az utolsó részben pedig véletlen mátrixok és a kvantumos bolyongás közötti
kapcsolódási pontok felderítésére teszek kísérletet. Beszélek perkolációs
rácsok szomszédsági mátrixáról és azok sajátértékeloszlásáról, valamint a
kvantumos bolyongás lehetséges általánosításairól a véletlen mátrixok terén
elért eredmények segítségével.

*Részletes információ:* http://www.szfki.hu/seminar
Minden érdeklődőt szívesen látunk!

Asbóth János
szfi-seminar AT wigner.mta.hu